Analysis: Grundlagen, Differentiation, Integrationstheorie, by Friedrich Sauvigny

By Friedrich Sauvigny

Das Buch bietet eine moderne Darstellung der Differential- und Integralrechnung für Funktionen in einer und mehreren reellen Veränderlichen sowie in einer komplexen Variablen. Die elementaren Funktionen werden über komplexe Potenzreihen definiert und die Logarithmusfunktion auf ihrer Riemannschen Fläche betrachtet. Nachdem die eindimensionale Integration mittels reeller und komplexer Stammfunktionen durchgeführt ist, wird über das uneigentliche n-dimensionale Riemannsche imperative die Integration auf Mannigfaltigkeiten mit Hilfe von Differentialformen vorgestellt. Mit dem Lebesgueschen fundamental und dessen Maßtheorie werden die Banachräume p-fach integrierbarer Funktionen eingeführt. Es werden für gewöhnliche Differentialgleichungen systematisch Existenz-, Eindeutigkeits- und Stabilitätsfragen behandelt. In einem Kapitel zur Variationsrechnung wird direkt über die Untersuchung von Geodätischen der Riemannsche Raum und sein Krümmungsbegriff vorgestellt.

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Also existiert die Gr¨oße η := lim ym = inf ym m→∞ m∈N ∈ R. Wir werden zeigen, dass η = ξ gilt: Zu vorgegebenem ϵ > 0 gibt es eine nat¨ urliche Zahl N1 = N1 (ϵ), so dass xn ≤ ξ + ϵ f¨ ur alle n ≥ N1 gilt (vgl. Satz 12). Daraus folgt ym = sup{xm , xm+1 , xm+2 , . } ≤ ξ + ϵ f¨ ur alle m ≥ N1 . Also gilt f¨ ur jedes ϵ > 0 die Absch¨atzung η = lim ym = inf ym ≤ ξ + ϵ m→∞ m∈N und damit η ≤ ξ. Es bleibt noch zu zeigen, dass η ≥ ξ gilt. Wegen lim supn→∞ xn = ξ gibt es nach (18) eine Teilfolge {xnk } ⊂ {xn } mit limk→∞ xnk = ξ.

Weiter sei eine beliebige Folge aufsteigender nat¨ urlicher Zahlen 1 ≤ n1 < n2 < n3 < . . gew¨ ahlt. Dann nennen wir {Xnk }k∈N = Xn1 , Xn2 , . . , Xnk , . . eine Teilfolge der Folge {Xn }n∈N . Bemerkungen: a) Hierbei betrachten wir die Indexmenge N als geordnete Menge, und wir lassen bei Folgen die Laufindizes h¨aufig weg; so bezeichnen wir eine Folge gleichwertig mit den Symbolen {Xn } oder {Xn }n=1,2,... oder {Xn }n∈N . b) Bei der Schreibweise {Xn }n∈N ⊂ M ignorieren wir die Anordnung der Folge und fassen sie als Teilmenge von M auf.

Satz 3. (Weierstraßscher H¨ aufungsstellensatz im Rn ) Sei {x(k) }k∈N (k) (k) mit x(k) = (x1 , . . h. es gibt eine reelle Zahl c > 0, so dass |x(k) | ≤ c f¨ ur alle k ∈ N richtig ist. Dann gibt es eine Teilfolge {x(kp ) }p∈N der Folge {x(k) }k∈N und ein x ∈ Rn , so dass x(kp ) → x (p → ∞) gilt. Beweis durch vollst¨ andige Induktion u ¨ber n: Nach Satz 4 aus § 3 ist die obige Aussage f¨ ur n = 1 bereits bewiesen. Sei nun n ∈ N beliebig und (k) (k) z (k) := (x1 , . . , xn−1 ) ∈ Rn−1 , gesetzt, so erhalten wir k∈N ) ( x(k) = z (k) , x(k) , k ∈ N.

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